Простые числа. Научная работа. Простые числа- это просто История создания таблицы простых чисел

Молоков Максим

В этом году мы изучили тему «Простые и составные числа», и мне стало интересно, кто из учёных занимался их изучением, как получить простые числа, кроме тех, которые содержатся на форзаце нашего учебника (от 1 до 1000), это стало целью выполнения этой работы.
Задачи:
1. Изучить историю открытия простых чисел.
2. Познакомиться с современными методами отыскания простых чисел.
3. Узнать о том, в каких научных областях применяются простые числа.
4. Есть ли среди русских учёных имена тех, кто занимался изучением простых чисел.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

История простых чисел МБОУ Суховская СОШ Автор: ученик 6 класса Молоков Максим Руководитель: учитель математики Бабкина Л. А. п. Новосуховый декабрь 2013 год

В этом году мы изучили тему «Простые и составные числа», и мне стало интересно, кто из учёных занимался их изучением, как получить простые числа, кроме тех, которые содержатся на форзаце нашего учебника (от 1 до 1000), это стало целью выполнения этой работы. Задачи: 1. Изучить историю открытия простых чисел. 2. Познакомиться с современными методами отыскания простых чисел. 3. Узнать о том, в каких научных областях применяются простые числа. 4. есть ли среди русских учёных имена тех, кто занимался изучением простых чисел.

Всякий, кто изучает простые числа, бывает очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно; найти очередное простое число так легко; разложение на простые сомножители - такое естественное действие. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его? Ч. Узерелл.

Пифагор и его ученики изучали вопрос о делимости чисел. Число, равное сумме всех его делителей (без самого числа) , они называли совершенным числом. Например,числа 6 (6 = 1 + 2 +3) , 28 (28 = 1+2+4+7+14) совершенные. Следующие совершенные числа – 496, 8128, 33550336.. Пифагор (VI в. до н.э.)

Пифагорейцы знали только первые три совершенных числа. Четвёртое – 8128 – стало известным в первом веке н.э. Пятое – 33550336 – было найдено в XV в. К 1983 г. Было известно уже 27 совершенных чисел. Но до сих пор учёные не знают, есть ли нечётные совершенные числа, есть ли самое большое совершенное число.

Интерес древних математиков к простым числам связан с тем, что любое число либо простое, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, т.е. простые числа – это как бы кирпичики, из которых строятся остальные натуральные числа.

Вы, наверное, обратили внимание, что простые числа в ряду натуральных чисел встречаются неравномерно – в одних частях ряда их больше, в других – меньше. Но чем дальше мы продвигаемся по числовому ряду, тем реже встречаются простые числа.

Возникает вопрос: существует ли последнее (самое большое) простое число? Древнегреческий математик Евклид (III в. до н.э.) в своей книге («Начала»), бывшей на протяжении 2000 лет основным учебником математики, доказал, что простых чисел бесконечно много, т.е. за каждым простым числом есть большее простое число Евклид (III в. до н.э.)

Для отыскания простых чисел другой греческий математик Эратосфен придумал такой способ. Он записывал все числа от одного до какого-то числа, а потом вычёркивал единицу, которая не является не простым, не составным числом, затем вычёркивал через одно все числа, идущие после 2 числа, кратные двум, т.е. 4,6,8, и т.д.

Первым оставшимся числом после двух было 3. Далее вычёркивались через два все числа, идущие после трёх (числа кратные 3, т.е. 6,9,12, и т.д.). В конце концов оставались невычеркнутыми только простые числа.

Так как греки делали записи на покрытых воском табличках или на тянутом папирусе, а числа не вычёркивали, а выкалывали иглой, то таблица в конце вычислений напоминала решето. Поэтому метод Эратосфена называют решетом Эратосфена: в этом решете «отсеиваются» простые числа от составных.

Итак, простыми числами от 2 до 60 являются 17 чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59. таким способом и в настоящее время составляют таблицы простых чисел, но уже с помощью вычислительных машин.

Евклид (III в. до н.э.) доказал, что между натуральным числом n и n ! обязательно найдётся хотя бы одно простое число. Тем самым он доказал, что натуральный ряд чисел бесконечен. В середине Х I Х в. русский математик и механик Пафнутий Львович Чебышев доказал более сильную теорему, чем Евклид. Между натуральным числом n и числом в 2 раза больше его, т.е. 2 n содержится хотя бы одно простое число. То есть, в теореме Евклида число n ! заменил числом 2n. Пафнутий Львович Чебышёв (1821-1894) русский математик и механик

Возникает следующий вопрос: «Если так трудно найти следующее простое число, то где и для чего эти числа можно использовать на практике?» Наиболее распространенным примером использования простых чисел является применение их в криптографии (шифровании данных). Самые безопасные и трудно дешифруемые методы криптографии основаны на применении простых чисел, имеющих в составе более трех сотен цифр.

Заключение Проблема отсутствия закономерностей распределения простых чисел занимает умы человечества еще со времен древнегреческих математиков. Благодаря Евклиду мы знаем, что простых чисел бесконечно много. Эрастофен предложил первый алгоритм тестирования чисел на простоту. Чебышев и многие другие известные математики пытались и пытаются по сей день разгадать загадку простых чисел. На сегодняшний момент найдено и предложено множество изящных алгоритмов, закономерностей, но все они применимы лишь для конечного ряда простых чисел или простых чисел специального вида. Передним же краем науки в исследованиях простых чисел на бесконечности считается доказательство гипотезы Римана. Она входит в семерку неразрешенных проблем тысячелетия, за доказательство или опровержение которой математическим институтом Клэя предложена премия в 1.000.000 $.

Интернет – источники и литература http://www.primenumb.ru/ http://www.bestpeopleofrussia.ru/persona/Pafnutiy-Chebyshev/bio/ http://uchitmatematika.ucoz.ru/index/vayvayvayjajavvvjavvvvva/0-7 Учебник «Математика» для шестого класса образовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбург – М. Мнемозина 2010 г./

Разные задачи, связанные с простыми числами, были и остаются до сих пор важными и интересными для математики, многие из них до сих пор не решены, и с их исследованием связаны любопытные факты из истории математики .

Так, еще в XVI-XVII вв. математиками начали рассматриваться числа вида $2^n-1$, и при исследовании их на простоту в истории было допущено много ошибок. Ясно, что если n - составное число , то это число также составное: если $n=km$, то $2^n-1=(2^k)^m-1^m$ - как разность степеней делится на разность оснований, т.е. не является простым, и поэтому естественно рассматривать только n.

Но и при простых n это число может оказаться составным: например, 2 11 =2047=23 89, оно составное и при n=23, и n=37, что установлено Ферма , через 40 с лишним лет обнаружившим ошибку в работе другого исследователя, утверждавшего, что при n=23, 29, 31, 37 число $2^n-1$ простое, но не заметившего другой ошибки: при n=29 оно также не является простым. А это обнаружил - еще примерно через 100 лет - Эйлер , а также и то, что при n=31 это число все же действительно является простым.

В XVII в. числами вида $2^n-1$ занимался французский монах Марен Мерсенн , который привел полный список простых n от 2 до 257, для которых эти числа являются простыми, в котором он предвосхитил указанный выше результат Эйлера, но и этот список содержал ошибки, и одну из них нашел спустя два с половиной века, в 1883 г., русский сельский священник-учитель Иван Михеевич Первушин . Это событие отмечено мемориальной доской на его доме в Зауралье - в г. Шадринске Курганской области. А ошибочно указанные Мерсенном n=67 и n=257 были исключены из его списка лишь в XX в.

Конечно, в современном Мире за такие ошибки могли бы и в суд подать, и тогда Мерсенну понадобилось бы юридическое представительство интересов в суде от хорошего адвоката. Хотя сейчас юридически представлять интересы в суде могут многие, но настоящими профессионалами являются только единицы. А французскому монаху уже вообще все равно!

Простые числа вида $2^n-1$ получили название чисел Мерсенна , и до сих пор математики не знают, конечно или бесконечно множество таких чисел, а в 1996 г. найдено тридцать пятое число Мерсенна - при n=1 398 629, и в нем примерно 400 тысяч цифр, 15 мая 2004 г. найдено тридцать шестое число, при этом компьютеру понадобилось на это несколько часов. Ясно, что найти такое громадное число без использования компьютеров немыслимо. В истории математики есть и еще один казус, связанный с простыми числами, так называемыми числами Ферма - числами вида $2^{2^n}+1$. Опять понятно, почему показатель степени k=2 п имеет такой, казалось бы, частный вид, но 2 п - это общий вид числа, не имеющего нечетных простых делителей, а если этот показатель k имеет такой делитель p, то число 2 п +1 не является простым: если k=pq, то 2 k +1=(2 q) р +1 p , а сумма нечетных степеней делится на сумму оснований. Сам Ферма считал, что эти числа все являются простыми, но Эйлер показал, что это утверждение ошибочно, нашел к нему контрпример: $2^{32}+1=4 294 967 297=641\times6 700 417$.

И самое удивительное открытие в связи с числами Ферма сделал великий математик Гаусс , имя которого вы наверняка слышали в связи с его моментальным вычислением суммы 1+2+3+…+100: оказывается, что правильный n-угольник можно построить тогда и только тогда, когда все нечетные простые делители числа n являются числами Ферма. Поэтому, в частности, правильный 7-угольник циркулем и линейкой построить нельзя, а 17-угольник - можно: $17=2^{2^2}+1$.

Разложение натуральных чисел в произведение простых

Алгоритмы поиска и распознавания простых чисел

Простые способы нахождения начального списка простых чисел вплоть до некоторого значения дают Решето Эратосфена , решето Сундарама и решето Аткина .

Однако, на практике вместо получения списка простых чисел зачастую требуется проверить, является ли данное число простым. Алгоритмы, решающие эту задачу, называются тестами простоты . Существует множество полиномиальных тестов простоты, но большинство их являются вероятностными (например, тест Миллера - Рабина) и используются для нужд криптографии . В 2002 году было доказано, что задача проверки на простоту в общем виде полиномиально разрешима, но предложенный детерминированный тест Агравала - Каяла - Саксены имеет довольно большую вычислительную сложность , что затрудняет его практическое применение.

Для некоторых классов чисел существуют специализированные эффективные тесты простоты (см. ниже).

Бесконечность множества простых чисел

Простых чисел бесконечно много. Самое старое известное доказательство этого факта было дано Евклидом в «Началах » (книга IX, утверждение 20). Его доказательство может быть кратко воспроизведено так:

Представим, что количество простых чисел конечно. Перемножим их и прибавим единицу. Полученное число не делится ни на одно из конечного набора простых чисел, потому что остаток от деления на любое из них даёт единицу. Значит, число должно делиться на некоторое простое число, не включённое в этот набор. Противоречие .

Математики предлагали другие доказательства. Одно из них (приведённое Эйлером) показывает, что сумма величин, обратных к первым n простым числам, неограниченно растёт с ростом n .

Числа Мерсенна выгодно отличаются от остальных наличием эффективного теста простоты : теста Люка - Лемера . Благодаря ему простые числа Мерсенна давно удерживают рекорд как самые большие известные простые.

За нахождение простых чисел из более чем 100 000 000 и 1 000 000 000 десятичных цифр EFF назначила денежные призы соответственно в 150 000 и 250 000 долларов США . Ранее EFF уже присуждала призы за нахождение простых чисел из 1 000 000 и 10 000 000 десятичных цифр.

Простые числа специального вида

Существует ряд чисел, простота которых может быть установлена эффективно с использованием специализированных алгоритмов.

С использованием теста Бриллхарта-Лемера-Селфриджа (англ. ) может быть проверена простота следующих чисел:

Для поиска простых чисел обозначенных типов в настоящее время используются проекты распределенных вычислений GIMPS , PrimeGrid , Ramsey@Home, Seventeen or Bust , Riesel Sieve, Wieferich@Home.

Некоторые свойства

• Если - простое, и делит , то делит или . Доказательство этого факта было дано Евклидом и известно как лемма Евклида . Оно используется в доказательстве основной теоремы арифметики .
• Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда - простое.
• Характеристика каждого поля - это ноль или простое число.
• Если - простое, а - натуральное, то делится на (малая теорема Ферма).
• Если - конечная группа с элементов, то содержит элемент порядка .
• Если - конечная группа, и - максимальная степень , которая делит , то имеет подгруппу порядка , называемую силовской подгруппой , более того, количество силовских подгрупп равно для некоторого целого (теоремы Силова).
• Натуральное является простым тогда и только тогда, когда делится на (теорема Вильсона).
• Если - натуральное, то существует простое , такое, что (постулат Бертрана).
• Ряд чисел, обратных к простым, расходится. Более того, при
• Любая арифметическая прогрессия вида , где - целые взаимно простые числа , содержит бесконечно много простых чисел (Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии).
• Всякое простое число, большее 3, представимо в виде или , где - некоторое натуральное число. Отсюда, если разность между несколькими последовательными простыми числами (при k>1) одинакова, то она обязательно кратна 6 - например: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
• Если - простое, то кратно 24 (справедливо также для всех нечётных чисел, не делящихся на 3) .
• Теорема Грина-Тао. Существуют сколь угодно длинные конечные арифметические прогрессии, состоящие из простых чисел .
• n >2, k >1. Иначе говоря, число, следующее за простым, не может быть квадратом или более высокой степенью с основанием, бо́льшим 2. Из этого следует также, что если простое число имеет вид , то k - простое (см. числа Мерсенна).
• Никакое простое число не может иметь вид , где n >1, k >0. Иначе говоря, число, предшествующее простому, не может быть кубом или более высокой нечётной степенью с основанием, бо́льшим 1 .

содержащий 26 переменных и имеющий степень 25. Наименьшая степень для известных многочленов такого типа - 5 при 42 переменных; наименьшее число переменных - 10 при степени около 15905. Этот результат является частным случаем доказанной Юрием Матиясевичем диофантовости любого перечислимого множества .

Открытые вопросы

Распределение простых чисел p n = f (Δs n ); Δs n = p n +1 ² - p n ². Δp n = p n +1 - p n ; Δp n = 2, 4, 6, … .

До сих пор существует много открытых вопросов относительно простых чисел, наиболее известные из которых были перечислены Эдмундом Ландау на Пятом Международном математическом конгрессе :

Открытой проблемой является также существование бесконечного количества простых чисел во многих целочисленных последовательностях, включая числа Фибоначчи , числа Ферма и т. д.

Приложения

Вариации и обобщения

• В теории колец , разделе абстрактной алгебры , определено понятие простого элемента и простого идеала .
• В теории узлов определено понятие простого узла (англ. ), как нетривиального узла , который не может быть представлен в виде связной суммы нетривиальных узлов.

См. также

Примечания

Литература

• Гальперин Г. «Просто о простых числах» // Квант . - № 4. - С. 9-14,38.
• Нестеренко Ю. В. Алгоритмические проблемы теории чисел // Введение в криптографию / Под редакцией В. В. Ященко. - Питер, 2001. - 288 с. - ISBN 5-318-00443-1
• Василенко О. Н. Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии . - М .: МЦНМО , 2003. - 328 с. - ISBN 5-94057-103-4
• Черемушкин А. В. . - М .: МЦНМО , 2002. - 104 с. - ISBN 5-94057-060-7
• Кноп К. «В погоне за простотой»
• Кордемский Б. А. Математическая смекалка . - М .: ГИФМЛ, 1958. - 576 с.
• Генри С. Уоррен, мл. Глава 16. Формулы для простых чисел // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker"s Delight. - М .: «Вильямс», 2007. - 288 с. - ISBN 0-201-91465-4
• Ю. Матиясевич. Формулы для простых чисел // Квант . - 1975. - № 5. - С. 5-13.
• Н. Карпушина. Палиндромы и «перевёртыши» среди простых чисел // Наука и жизнь . - 2010. - № 5.
• Д. Цагер. Первые 50 миллионов простых чисел // Успехи математических наук . - 1984. - Т. 39. - № 6(240). - С. 175–190.

Ссылки

• The Prime Pages (англ.) - база данных наибольших известных простых чисел
• PrimeGrid prime lists - все простые числа, найденные в рамках проекта PrimeGrid
• Геометрия простых и совершенных чисел (исп.)

Отдел образования и молодежной политики администрации

Яльчикского района Чувашской Республики

Проект
Простые числа…

Так ли проста их история?

Выполнила ученица 7 класса МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Ефимова Марина

Руководитель: учитель математики I категории МОУ «Новошимкусская СОШ Яльчикского района Чувашской Республики» Кириллова С.М.

с.Новые Шимкусы - 2007

1. 
   Определение простых чисел 3
2. 
   Заслуги Эйлера 3
3. 
   Основная теорема арифметики 4
4. 
   Простые числа Мерсена 4
5. 
   Простые числа Ферма 5
6. 
   Решето Эратосфена 5
7. 
   Открытие П.Л.Чебышева 6
8. 
   Проблема Гольдбаха 7
9. 
   И.М.Виноградов 8
10. 
    Заключение 8
11. 
    Литература 10

Интерес к изучению простых чисел возник у людей в глубокой древности. И вызван он был не только практи­ческой необходимостью. Привлекала их необычайная ма­гическая сила. Числа, которыми можно выразить коли­чество любых предметов. Неожиданные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками, удивляли их своей замечатель­ной красотой и вдохновляли на новые исследования.

Должно быть, одним из первых свойств чисел, откры­тых человеком, было то, что некоторые из них могут быть разложены на два или более множителей, например,

6=2*3, 9=3*3, 30=2*15=3*10, в то время как другие, например 3, 7, 13, 37, не могут быть разложены подобным образом.

Когда число с = а b является произведением двух чисел а и b, то числа а и b называются множителями или дели­телями числа с. Каждое число может быть представлено в виде произведения двух сомножителей. Например, с = 1 *с = с*1.

Простым называется число, которое делится только само на себя и на единицу.

Единица, имеющая только один делитель, к простым числам не относится. Не относится она и к составным числам. Единица занимает особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица - матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония.

В Казанском университете профессор Никольский с помощью единицы ухитрился доказать существование Бога. Он говорил: «Как не может быть числа без едини­цы, так и Вселенная без единого Владыки существовать не может».

Единица и в самом деле - число уникальное по свой­ствам: она делится только сама на себя, но любое другое число на нее делится без остатка, любая ее степень рав­на тому же самому числу - единице!

После деления на нее ни одно число не изменяется, а если и поделить любое число на самое себя, получится опять же единица! Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил: «Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным».

Это было уже существенно важное упорядочивание в темном и сложном вопросе о простых числах.

Заслуги Эйлера

Леонард Эйлер

(1707-1783)

У Эйлера учились все - ив Западной Европе, и в Рос­сии. Диапазон его творчества широк: дифференциальное и интегральное исчисления, алгебра, механика, диоптри­ка, артиллерия, морская наука, теория движения планет и Луны, теория музыки - всего не перечислить. Во всей этой научной мозаике находится и теория чисел. Эйлер отдал ей немало сил и немалого добился. Он, как и многие его предшественники, искал магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда, т. е. из всех чисел, какие можно себе представить. Эйлер написал бо­лее ста сочинений по теории чисел.

Основная теорема арифметики

Всякое натуральное число, отличное от 1, либо явля­ется простым, либо может быть представлено в виде произведения простых чисел, причем однозначно, если не обращать внимания на порядок следования множителей.

Доказательство. Возьмем натуральное число п≠ 1. Если n - простое, то это тот случай, о котором сказано в заключении теоремы. Теперь предположим, что n - со­ставное. Тогда оно представлено в виде произведения п = а b , где натуральные числа а и b меньше n. Опять либо a и b - простые, тогда все доказано, либо хотя бы одно из них составное, т. е. составлено из меньших множителей и так далее; в конце концов мы получим разложение на про­стые множители.

Если число n не делится ни на одно простое, не пре­восходящее √ n , то оно является простым.

Доказательство. Предположим противное, пусть n - составное и п = аЬ, где 1 ≤b и р - простой делитель числа а, значит, и числа n. По усло­вию п не делится ни на одно простое, не превосходящее √ n . Следовательно, р >√ n . Но тогда а >√ n и √ n ≤ а ≤ b,

откуда п = а b = √ n √ n = п; пришли к противоречию, предположение было неверным, теорема доказана.

Пример 1. Если с = 91, то √ с = 9, ... проверим про­стые числа 2, 3, 5, 7. Находим, что 91 = 7 13.

Пример 2. Если с = 1973, то находим √ c = √ 1973 =44, ...

так как ни одно простое число до 43 не делит с, то это число является простым.

Простые числа Мерсена

В течение нескольких столетий шла погоня за просты­ми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателями самого большого из известных простых чисел.

Простые числа Мерсена являются простыми числами специального вида M p = 2 p - 1

где р - другое простое число.

Эти числа вошли в математику давно, они появляются еще в евклидовых размышлениях о современных числах. Свое название они получили в честь французского монаха Меренна Мерсена (1589-1648), который долго занимался проблемой современных чисел.

Если вычислять числа по этой формуле, получим:

M 2 = 2 2 – 1 = 3 – простое;

M 3 = 2 3 – 1 = 7 – простое;

M 5 = 2 5 – 1 = 31– простое;

M 7 = 2 7 – 1 = 127 – простое;

M 11 = 2 11 – 1 = 2047 = 23 * 89

Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсена состоит в проверке всех чисел M p для различных простых чисел р.

Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда на их нахождение.

В исследовании чисел Мерсена можно выделить ран­нюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750 г., когда Эйлер установил, что число M 31 является простым. К тому времени было найдено восемь простых чисел Мер­сена: " г

р = 2, р= 3, р = 5, р = 7, р = 13, р = 17, р = 19, р =31.

Эйлерово число M 31 оставалось самым большим из из­вестных простых чисел более ста лет.

В 1876 г. французский математик Лукас установил, что огромное число M 127 - с 39 цифрами. 12 простых чисел Мерсена были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использова­лись механические настольные счетные машины.

Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиски, доведя их до р = 257.

Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось новых простых чисел Мерсена.

Затем задача была переложена на ЭВМ.

Самое большое известное в настоящее время простое число имеет 3376 цифр. Это число было найдено на ЭВМ в Иллинойском университете (США). Математический факультет этого университета был так горд своим достиже­нием, что изобразил это число на своем почтовом штемпе­ле, таким образом воспроизводя его на каждом отсылае­мом письме для всеобщего обозрения.

Простые числа Ферма

Существует еще один тип про­стых чисел с большой и интерес­ной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601-1665), кото­рый прославился своими выдающи­мися математическими работами.

Пьер Ферма (1601-1665)
Первыми простыми числами Ферма были числа, которые удов­летворяли формуле F n =
+ 1.

F 0 =
+ 1 = 3;

F 1 =
+ 1 = 5;

F 2 =
+ 1 = 17;

F 3 =
+ 1 = 257;

F 4 =
+ 1 = 65537.

Однако, это предположение было сдано в архив не­оправдавшихся математических гипотез, но после того, как Леонард Эйлер сделал еще один шаг и показал, что следующее число Ферма F 5 = 641 6 700 417 является со­ставным.

Возможно, что история чисел Ферма была бы законче­на, если бы числа Ферма не появились в совсем другой задаче - на построение правильных многоугольников при помощи циркуля и линейки.

Однако ни одного простого числа Ферма не было най­дено, и сейчас многие математики склонны считать, что их больше нет.
Решето Эратосфена

Существуют таблицы простых чисел, простирающих­ся до очень больших чисел. Как подступиться к составле­нию такой таблицы? Эта задача была, в известном смыс­ле, решена (около 200 г. до н. э.) Эратосфеном, математи­ком из Александрии. -

Его схема состоит в следующем. Напишем последова­тельность всех целых чисел от 1 до числа, которым мы хотим закончить таблицу.

Начнем с простого числа 2. Будем выбрасывать каж­дое второе число. Начнем с 2 (кроме самого числа 2), т. е. четных чисел: 4, 6, 8, 10 и т. д., подчеркиваем каждое из них.

После этой операции первым неподчеркнутым числом будет 3. Оно простое, так как не делится на 2. Оставляя число 3 неподчеркнутым, будем подчеркивать каждое тре­тье число после него, т. е. числа 6, 9, 12, 15... Некоторые из них были уже подчеркнуты, поскольку они являются четными. На следующем шаге первым неподчеркнутым числом окажется число 5; оно простое, так как не делится ни на 2, ни на 3. Оставим число 5 неподчеркнутым, но подчеркнем каждое пятое число после него, т. е. числа 10, 15, 20... Как и раньше, часть из них оказалась под­черкнутой. Теперь наименьшим неподчеркнутым числом окажется число 7. Оно простое, так как не делится ни на одно из меньших его простых чисел 2, 3, 5. Повторяя этот процесс, мы в конце концов получим последовательность неподчеркнутых чисел; все они (кроме числа 1) являются простыми. Этот метод отсеивания чисел известен как «решето Эратосфена». Любая таблица простых чисел создается по этому принципу.

Эратосфен создал таблицу простых чисел от 1 до 120 более 2000 лет назад. Он писал на папирусе, натянутом на рамку, или на восковой дощечке, и не зачеркивал, как это делаем мы, а прокалывал составные числа. Получа­лось нечто вроде решета, через которое «просеивались» составные числа. Поэтому таблицу простых чисел назы­вают «решетом Эратосфена».

Сколько всего простых чисел? Есть ли последнее про­стое число, т. е. такое, после которого все числа будут составными? Если такое число есть, то как его найти? Все эти вопросы интересовали ученых еще в глубокой древно­сти, но ответ на них оказалось не так-то просто найти.

Эратосфен был остроумнейшим человеком. Этот совре­менник и друг Архимеда, с которым он постоянно пере­писывался, был и математиком, и астрономом, и механи­ком, что считалось естественным для великих мужей того времени. Он первым измерил диаметр земного шара, при­чем не выходя из александрийской библиотеки, где рабо­тал. Точность его измерения была поразительно высокой, даже выше той, с которой измерил Землю Архимед.

Эратосфен изобрел хитроумный прибор - мезолабит, с помощью которого механически решил известную зада­чу об удвоении куба, чем очень гордился, и потому отдал распоряжение изобразить этот прибор на колонне в Алек­сандрии. Мало того, он поправил египетский календарь, добавив один день к четырем годам - в високосный год.

Решето Эратосфена - это примитивное и в то же вре­мя гениальное изобретение, до которого не додумался и Евклид, - наводит на общеизвестную мысль, что все гениальное просто.

Эратосфеново решето неплохо поработало на исследо­вателей далеко не простых чисел. Шло время. Шли поис­ки способов отлова простых чисел. Началось своеобразное соревнование на изыскание наибольшего простого числа с древнейших времен до Чебышева и даже до наших дней.
Открытие П.Л. Чебышева

Итак, число простых чисел бесконечно. Мы уже виде­ли, что простые числа размещаются без какого-либо по­рядка. Проследим более подробно.

2 и 3 - простые числа. Это единственная пара про­стых чисел, стоящих рядом.

Затем идут 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13, 17 и 19 и т.д. Это так называемые смежные простые числа или близнецы. Близ­нецов много: 29 и 31, 41 и 43, 59 и 61, 71 и 73, 101 и 103, 827 и 829 и т. д. Самая большая известная сейчас пара близнецов такая: 10016957 и 10 016 959.

Панфутий Львович Чебышев

Как же распределены простые числа в натуральном ряду, в котором не будет ни одного простого числа? Есть ли какой-нибудь закон в их распреде­лении или нет?

Если есть, то какой? Как найти его? Но ответ на эти вопросы не находился более 2000 лет.

Первый и очень большой шаг в раз­решении этих вопросов сделал великий русский ученый Панфутий Львович Чебышев. В 1850 г. он доказал, что меж­ду любым натуральным числом (не рав­ным 1) и числом, в два раза больше его (т. е. между n и 2n), находится хотя бы одно простое число.
Проверим это на несложных примерах. Примем для n несколько произвольных значений n. и найдем соответственно значение 2n.

n = 12, 2n = 24;

n = 61, 2n = 122;

n = 37, 2n = 74.

Мы видим, что для рассмотренных примеров теорема Чебышева верна.

Чебышев доказал ее для любого случая, для любого n. За эту теорему его назвали победителем простых чисел. Открытый Чебышевым закон распределения простых чи­сел был поистине фундаментальным законом в теории чисел после закона, открытого Евклидом, о бесконечно­сти количества простых чисел.

Едва ли не самый добрый, самый восторженный от­клик на открытие Чебышева пришел из Англии от извест­ного математика Сильвестра: «...Дальнейших успехов те­ории простых чисел можно ожидать тогда, когда родится некто, настолько превосходящий Чебышева своей прони­цательностью и вдумчивостью, насколько Чебышев пре­восходит этими качествами обыкновенных людей».

Более чем полвека спустя немецкий математик Э. Лан­дау, крупный специалист в теории чисел, добавил к это­му высказыванию следующее: «Первым после Евклида Чебышев пошел правильным путем при решении пробле­мы простых чисел и достиг важных результатов».
Проблема Гольдбаха

Выпишем все простые числа от 1 до 50:

2, 3, 5, 7, 9, 11, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

А теперь попытаемся любое число от 4 до 50 предста­вить в виде суммы двух или трех простых чисел. Возьмем несколько чисел наугад:

Как видим, поставленную задачу мы выполнили без труда. А всегда ли это возможно? Любое ли число можно представить в виде суммы нескольких простых чисел? И если можно, то скольких: двух? трех? десяти?

В 1742 г. член Петербургской академии наук Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что любое целое положительное число, большее пяти, представляет собой сумму не более чем трех простых чисел.

Гольдбах испытал очень много чисел и ни разу не встре­тил такого числа, которое нельзя было бы разложить на сумму двух или трех простых слагаемых. Но будет ли так всегда, он не доказал. Долго ученые занимались этой за­дачей, которая названа «проблемой Гольдбаха» и сформу­лирована следующим образом.

Требуется доказать или опровергнуть предложение:

всякое число, большее единицы, является суммой не более трех простых чисел.

Почти 200 лет выдающиеся ученые пытались разре­шить проблему Гольдбаха-Эйлера, но безуспешно. Мно­гие пришли к выводу о невозможности ее решить.

Но решение ее, и почти полностью, было найдено в 1937 г. советским математиком И.М. Виноградовым.

И.М. Виноградов

Иван Матвеевич Виноградов явля­ется одним из крупнейших современ­ных математиков. Родился он 14 сен­тября 1891 г. в селе Милолюб Псков­ской губернии. В 1914 г. окончил Пе­тербургский университет и был остав­лен для подготовки к профессорскому званию.

Свою первую научную работу И.М. Виноградов написал в 1915 г. С тех пор им написано более 120 различных научных работ. В них он разрешил много задач, над кото­рыми ученые всего мира трудились десятки и сотни лет.

Иван Матвеевич Виноградов
За заслуги в области математики И.М. Виноградов все­ми учеными мира признан одним из первых математиков современности, избран в число членов многих академий мира.

Мы гордимся нашим замечательным соотечественни­ком.

Беседу о простых числах начнем увлекательным рас­сказом о воображаемом путешествии из класса в мировое пространство. Это воображаемое путешествие придумал известный советский педагог-математик профессор Иван Козьмич Андронов (род. в 1894 г.). «...а) мысленно возьмем прямолинейный провод, вы­ходящий из классной комнаты в мировое пространство, пробивающий земную атмосферу, уходящий туда, где Луна совершает вращение, и далее - за огненный шар Солнца, и далее - в мировую бесконечность;

б) мысленно подвесим на провод через каждый метр электрические лампочки, нумеруя их, начиная с бли­жайшей: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1000, ..., 1 000 000...;

в) мысленно включим ток с таким расчетом, чтобы загорелись все лампочки с простыми номерами и только с простыми номерами; : .

г) мысленно долетим вблизи провода.

Перед нами развернется следующая картина.

1. Лампочка с номером 1 не горит. Почему? Потому что единица не есть простое число.

2. Две следующие лампочки с номерами 2 и 3 горят, так как 2 и 3 - оба простые числа. Могут ли в дальней­шем встретиться две смежные горящие лампочки? Нет, не могут. Почему? Всякое простое число, кроме двух, есть число нечетное, а смежные с простым по ту и другую сто­рону будут числа четные, а всякое четное, отличное от двух, является составным числом, так как делится на два.

3. Дальше наблюдаем пару лампочек, горящих через одну лампочку с номерами 3 и 5, 5 и 7 и т. д. Понятно, почему они горят: это близнецы. Замечаем, что в даль­нейшем они встречаются реже; все пары близнецов, как и пары простых чисел, имеют вид 6n ± 1; например

6*3 ± 1 равно 19 и 17

или 6*5 ± 1 равно 31 и 29, ...;

но 6*20 ± 1 равно 121 и119- эта пара не близнец, так как есть пара составных чи­сел.

Долетаем до пары близнецов 10 016 957 и 10 016 959. Будут ли и дальше пары близнецов? Современная наука пока ответа не дает: неизвестно, существует ли конечное или бесконечное множество пар близнецов.

4. Но вот начинает действовать закон большого проме­жутка, заполненного только составными номерами: летим в темноте, смотрим назад - темнота, и впереди не видно света. Вспоминаем свойство, открытое Евклидом, и смело движемся вперед, так как впереди должны быть светя­щиеся лампочки, и впереди их должно быть бесконечное множество.

5. Залетев в такое место натурального ряда, где уже несколько лет нашего движения проходит в темноте, вспо­минаем свойство, доказанное Чебышевым, и успокаива­емся, уверенные, что во всяком случае, надо лететь не больше того, что пролетели, чтобы увидеть хотя бы одну светящуюся лампочку».
Литература
1. Великий мастер индукции Леонард Эйлер.

2. За страницами учебника математики.

3. Прудников Н.И. П.Л. Чебышев.

4. Сербский И. А. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах.

5. Издательский дом «Первое сентября». Математика №13, 2002 г.

6. Издательский дом «Первое сентября». Математика №4, 2006 г.

Простые и составные числа. Признаки делимости.

2014-02-01

Частное
делитель числа
кратное число
четное число
нечетное число
простое число
составное число
Признак делимости на 2
Признак делимости на 4
Признак делимости на 5
Признак делимости на 3 и 9

Если $a$ и $b$ - натуральные числа, причем
$a=bq$,
где $q$ - также натуральное число, то говорят, что $q$ -

частное от деления числа $a$ на число $b$, и пишут: $q = a/b$.

Также говорят, что $a$ делится на $b$ нацело или без остатка .

Всякое число $b$, на которое $a$ делится без остатка, называется делителем числа $a$

Само

число $a$ но отношению к своему делителю называется кратным

Таким образом, числа, кратные $b$, суть числа $b, 2b, 3b, \cdots$.

Числа, кратные числу 2 (т. е. делящиеся на 2 без остатка), называются четными

Числа, не делящиеся на 2 нацело, называются нечетными

Каждое натуральное число либо четно, либо нечетно.

Если каждое из двух чисел $a_{1}, a_{2}$ является кратным числа $b$, то и сумма $a_{1}+a_{2}$ - кратное числа $b$. Это видно из записи $a_{1}=bq_{1}, a_{2}=bq_{2}; a_{1}+a_{2}=bq_{1}+bq_{2}= b (q_{1}+q_{2})$.
Обратно, если $a_{1}$ и $a_{1}+a_{2}$ - кратные числа $b$, то $a_{2}$ - также кратное числа $b$.

Всякое отличное от единицы натуральное число имеет по меньшей мере два делителя: единицу и самоё себя.

Если число не имеет никаких других делителей, кроме себя и единицы, оно называется простым

Число, имеющее какой-нибудь делитель, отличный от себя и единицы, называют составным

Числом. Единицу принято не относить ни к простым, ни к составным числам. Вот несколько первых простых чисел, записанных в порядке возрастания:
$2,3,5,7,11,13,17, \cdots$
Число 2 - единственное четное простое число; все остальные простые числа - нечетные.

То, что простых чисел имеется бесконечное множество, было установлено еще в древности (Евклид, III век до нашей эры).

Идея доказательства Евклида бесконечности множества простых чисел весьма проста. Допустим, что простых чисел - конечное число; перечислим их все, например, расположив в порядке возрастания:
$2,3,5, \cdots , p$. (1)
Составим число, равное их произведению плюс единица:
$a = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdots p+1$.
Очевидно, что это число не делится ни на одно из чисел (1). Следовательно, либо оно само является простым, либо, если оно составное, то имеет простой делитель, отличный от чисел (1), что противоречит допущению о том, что в записи (1) перечислены все простые числа.

Это доказательство представляет большой интерес, так как дает пример доказательства теоремы существования (бесконечного множества простых чисел), не связанного с фактическим отысканием объектов, существование которых доказывается.

Можно доказать, что всякое составное число представимо в виде произведения простых чисел. Так, например,
$1176 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 7$ или $1176 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 7^{2}$.
Как видно из этого примера, в разложении данного числа на простые множители некоторые из них могут повторяться несколько раз.

В общем случае в записи разложения числа $a$ на простые множители
$a = p^{k_{1}}_{1} p^{k_{2}}_{2} \cdots p^{k_{n}}_{n}$ (2)
подразумевается, что все простые числа $p_{1},p_{2}, \cdots , p_{n}$ различны между собой (причем $p_{1}$ повторяется множителем $k_{1}$ раз, $p_{2}$ повторяется множителем $k_{2}$ раз и т. д.). При этом условии можно доказать, что разложение единственно с точностью до порядка записи сомножителей.

При разложении числа на простые множители полезно бывает использовать признаки делимости, позволяющие выяснить, делится ли данное число на некоторое другое число без остатка, не производя самого деления. Мы выведем признаки делимости на числа 2, 3, 4, 5, 9.

Признак делимости на 2. На 2 делятся те и только те числа, в записи которых последняя цифра выражает четное число (0, 2, 4, 6 или 8).

Доказательство. Представим число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ в виде $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}} = \overline{c_{1}c_{2} \cdots 0} + c_{m}$.
Первое слагаемое в правой части делится на 10 и потому - четное; сумма будет четной тогда и только тогда, когда $c_{m}$ - четное число.

Признак делимости на 4 Число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ делится на 4 тогда и только тогда, когда двузначное число, выражаемое его последними двумя цифрами, делится на 4.

Доказательство. Представим число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ в виде
$\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}} = \overline{c_{1}c_{2} \cdots 00} + \overline{c_{m-1}c_{m}}$
Первое слагаемое делится на 100 и тем более на 4. Сумма будет делиться на 4 в том и только в том случае, если $\overline{c_{m-1}c_{m}}$ делится на 4.

Признак делимости на 5. На 5 делятся те и только те числа, запись которых заканчивается цифрой 0 или цифрой 5.

Признаки делимости на 3 и на 9. Число делится на 3 {соответственно на 9) в том и только в том случае, когда сумма его цифр делится на 3 (соответственно на 9).

Доказательство. Запишем очевидные равенства
$10 = 9+1$,
$100 = 99 + 1$,
$1000 = 999+1$,
$ \cdots $,
в силу которых можно число $\overline{c_{1}c_{2} \cdots c_{m}}$ представить в виде
$a_{m}=c_{1}(99 \cdots 9 + 1) + \cdots + c_{m-1} (9+1) + c_{m}$
или
$a_{m}=c_{1} \cdot 99 \cdots 9 + \cdots + c_{m-1} \cdot 9 + (c_{1} + c_{2} + \cdots + c_{m-1} + c_{m})$.
Видно, что все слагаемые, кроме, быть может, последней скобки, делятся на 9 (и тем более на 3). Поэтому данное число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда делится на 3 или на 9 сумма его цифр $c_{1}+c_{2}+ \cdots + c_{m}$.